Lineare Algebra Beispiele

$y = 3 x + 2$ ,

$x - 4 y = 9$

Schritt 1

Subtrahiere

$3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - 3 x = 2, x - 4 y = 9$

Schritt 2

Um den Schnittpunkt der Geraden durch einen Punkt

$(p, q, r)$ senkrecht zur Ebene

$P_{1}$

$a x + b y + c z = d$ und Ebene

$P_{2}$

$e x + f y + g z = h$ zu finden:

1. Finde die Normalvektoren von Ebene

$P_{1}$ und Ebene

$P_{2}$ , wobei die Normalvektoren

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ und

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ sind. Prüfe, ob das Skalarprodukt 0 ist.

2. Stelle einen Satz parametrischer Gleichungen auf, sodass

$x = p + a t$ ,

$y = q + b t$ und

$z = r + c t$ .

3. Setze diese Gleichungen in die Gleichung für die Ebene

$P_{2}$ ein, sodass

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ und löse nach

$t$ auf.

4. Löse die parametrischen Gleichungen

$x = p + a t$ ,

$y = q + b t$ und

$z = r + c t$ unter Verwendung des Wertes von

$t$ nach

$t$ auf, um den Schnittpunkt

$(x, y, z)$ zu finden.

Schritt 3

Ermittle die Normalenvektoren für jede Ebene und stelle fest, ob sie senkrecht zueinander sind durch Berechnung des Skalarprodukts.

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Schritt 3.1

$P_{1}$ ist

$y - 3 x = 2$ . Finde den Normalvektor

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ der Ebenengleichung der Form

$a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ - 3, 1, 0 ⟩$

Schritt 3.2

$P_{2}$ ist

$x - 4 y = 9$ . Finde den Normalvektor

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ der Ebenengleichung der Form

$e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 1, - 4, 0 ⟩$

Schritt 3.3

Berechne das Skalarprodukt von

$n_{1}$ und

$n_{2}$ , durch Summieren der Produkte der entsprechenden

$x$ ,

$y$ und

$z$ Werte in den Normalvektoren.

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

Schritt 3.4

Vereinfache das Skalarprodukt.

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Schritt 3.4.1

Entferne die Klammern.

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

Schritt 3.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$1$ .

$- 3 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$1$ .

$- 3 - 4 + 0 \cdot 0$

Schritt 3.4.2.3

Mutltipliziere

$0$ mit

$0$ .

$- 3 - 4 + 0$

Schritt 3.4.3

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.4.3.1

Subtrahiere

$4$ von

$- 3$ .

$- 7 + 0$

Schritt 3.4.3.2

Addiere

$- 7$ und

$0$ .

$- 7$

Schritt 4

Als Nächstes erzeuge einen Satz parametrischer Gleichungen

$x = p + a t$ ,

$y = q + b t$ und

$z = r + c t$ unter Verwendung des Ursprungs

$(0, 0, 0)$ für den Punkt

$(p, q, r)$ und der Werte des Normalenvektors

$- 7$ für die Werte von

$a$ ,

$b$ und

$c$ . Dieser Satz Parameterdarstellungen stellt die Gerade durch den Ursprung dar, die senkrecht auf

$P_{1}$

$y - 3 x = 2$ steht.

$x = 0 + - 3 \cdot t$

$y = 0 + 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Schritt 5

Setze den Ausdruck für

$x$ ,

$y$ und

$z$ in die Gleichung für

$P_{2}$ ,

$x - 4 y = 9$ , ein.

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach

$t$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ .

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Schritt 6.1.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ .

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Schritt 6.1.1.1

Subtrahiere

$3 \cdot t$ von

$0$ .

$- 3 \cdot t - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

Schritt 6.1.1.2

Addiere

$0$ und

$1 \cdot t$ .

$- 3 \cdot t - 4 (1 \cdot t) = 9$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere

$t$ mit

$1$ .

$- 3 t - 4 t = 9$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere

$4 t$ von

$- 3 t$ .

$- 7 t = 9$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in

$- 7 t = 9$ durch

$- 7$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in

$- 7 t = 9$ durch

$- 7$ .

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$- 7$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere

$t$ durch

$1$ .

$t = \frac{9}{- 7}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t = - \frac{9}{7}$

Schritt 7

Löse die parametrischen Gleichungen nach

$x$ ,

$y$ und

$z$ auf durch Verwendung des Wertes von

$t$ .

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Schritt 7.1

Löse die Gleichung nach

$x$ auf.

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Schritt 7.1.1

Entferne die Klammern.

$x = 0 - 3 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

Schritt 7.1.2

Entferne die Klammern.

$x = 0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$

Schritt 7.1.3

Vereinfache

$0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

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Schritt 7.1.3.1

Multipliziere

$- 3 (- \frac{9}{7})$ .

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Schritt 7.1.3.1.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 3$ .

$x = 0 + 3 (\frac{9}{7})$

Schritt 7.1.3.1.2

Kombiniere

$3$ und

$\frac{9}{7}$ .

$x = 0 + \frac{3 \cdot 9}{7}$

Schritt 7.1.3.1.3

Mutltipliziere

$3$ mit

$9$ .

$x = 0 + \frac{27}{7}$

Schritt 7.1.3.2

Addiere

$0$ und

$\frac{27}{7}$ .

$x = \frac{27}{7}$

Schritt 7.2

Löse die Gleichung nach

$y$ auf.

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Schritt 7.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0 + 1 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

Schritt 7.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$

Schritt 7.2.3

Vereinfache

$0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere

$- \frac{9}{7}$ mit

$1$ .

$y = 0 - \frac{9}{7}$

Schritt 7.2.3.2

Subtrahiere

$\frac{9}{7}$ von

$0$ .

$y = - \frac{9}{7}$

Schritt 7.3

Löse die Gleichung nach

$z$ auf.

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Schritt 7.3.1

Entferne die Klammern.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

Schritt 7.3.2

Entferne die Klammern.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$

Schritt 7.3.3

Vereinfache

$0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

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Schritt 7.3.3.1

Multipliziere

$0 (- \frac{9}{7})$ .

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Schritt 7.3.3.1.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$0$ .

$z = 0 + 0 (\frac{9}{7})$

Schritt 7.3.3.1.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$\frac{9}{7}$ .

$z = 0 + 0$

Schritt 7.3.3.2

Addiere

$0$ und

$0$ .

$z = 0$

Schritt 7.4

Die gelösten parametrischen Gleichungen für

$x$ ,

$y$ und

$z$ .

$x = \frac{27}{7}$

$y = - \frac{9}{7}$

$z = 0$

$x = \frac{27}{7}$

$y = - \frac{9}{7}$

$z = 0$

Schritt 8

Die für

$x$ ,

$y$ und

$z$ berechneten Wertte anwenden, der Schnittpunkt ist

$(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$ .

$(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$